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Thèse de Doctorat Traitement Numérique du Signal / Problèmes Inverses

26 novembre 1997

L'estimation de distributions de résistivité, connue sous le nom de tomographie d'impédance électrique (TIÉ), est un problème inverse non linéaire et mal posé. Pour formuler le problème direct, il est nécessaire, dans le cas général, d'utiliser une approximation car l'équation aux dérivées partielles régissant l'expérience ne possède pas de solution explicite. L'emploi de la méthode des éléments Finis (MÉF) nous permet de concevoir, pour une faible charge de calcul, un modèle direct qui, non seulement préserve le caractère non linéaire du phénomène mais possède également une précision suffisante pour l'inversion. Nous opérons une régularisation dans le cadre bayésien en introduisant des lois a priori markoviennes sur la log-conductivité. Le système de voisinage de ces lois est construit directement à partir du maillage triangulaire adopté pour la MÉF. Nous proposons d'abord une estimation du maximum a posteriori (MAP) de la densité obtenue avec une loi a priori Huber-Markov qui favorise des reconstructions douces tout en autorisant des discontinuités locales. Le critère résultant est minimisé par la méthode du gradient pseudo-conjugué. Par rapport aux méthodes préexistantes, les simulations montrent de nettes améliorations des estimations sur les plans de la robustesse au bruit, de la rapidité d'exécution ainsi que la capacité à restaurer des distributions contrastées et discontinues. Nous présentons ensuite le problème de TIÉ sous une forme bilinéaire contrainte. Exploitant cette propriété ainsi que le caractère très creux de la modélisation MÉF, nous proposons une méthode stochastique d'estimation de la moyenne a posteriori (MP) de la log-conductivité. La moyenne des points obtenus par échantillonnage de Gibbs d'une fonction d'importance, corrigée par une pondération bien choisie, converge vers l'espérance recherchée.